Question

12．如图，已知在直角坐标系中，直角梯形OABC的直角腰在y轴上，底边OC在x轴上，且∠BCO=45°，点B的坐标是（3，4）．
（1）直接写出点A和点C的坐标为A（0，4），C（7，0）；
（2）以动点P为圆心，以1个单位长为半径的⊙P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-A-B的路线向点B运动；同时点D从点C出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，当点P到达点B时，点P和点D都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，⊙P与BC所在的直线相切？
②当t为何值时，以B、P、D为顶点的三角形的面积为8？

Answer 1

分析 （1）如图1中，作BM⊥OC于M．求出OA、OC的长即可解决问题．
（2）①如图2中，设经过t秒，⊙P与BC所在的直线相切于点F，连结PF，由勾股定理可求出PB=$\sqrt{2}$，根据t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，即可解决问题．
②如图3中，当P在OA上运动时，0≤t＜4．根据S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8），列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作BM⊥OC于M．

∵B（3，4），∠BCO=45°，∠BMD=90°，
∴OM=3，BM=4，∠MBD=∠MCB=45°，
∴MC=BM=4，OC=7，
A（0，4）、，C（7，0），
故答案为（0，4），（7，0）．

（2）①如图2中，

设经过t秒，⊙P与BC所在的直线相切于点F，连结PF，
∴∠PFB=90°，
∵AB∥OC，∠BCO=45°，
∴∠FBP=45°，
即：PF=FB=1，
由勾股定理可得：PB=$\sqrt{2}$，
∴t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，
∴当t为（7-$\sqrt{2}$）秒时，⊙P与BC所在的直线相切．

②如图3中，当P在OA上运动时，0≤t＜4．

由S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，
（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8）得
$\frac{1}{2}$ （3+7）×4-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$t（7-t）-$\frac{1}{2}$t×4=8，
整理，得t²-8t+12=0，解之得t₁=2，t₂=6（舍），
当P在AB上运动，4≤t＜7．
由S_△BPD=$\frac{1}{2}$×（7-t）×4=8，得t=3（舍），
∴当t=2时，以B、P、R为顶点的三角形的面积为8．

点评 本题考查圆综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用分割法求三角形的面积，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．