【题目】如图,直线y=﹣x+5与x轴交于点B,与y轴交于点D,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣x+5交于B,D两点,点C是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是直线BD上方抛物线上的一个动点,其横坐标为m,过点M作x轴的垂线,交直线BD于点P,当线段PM的长度最大时,求m的值及PM的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为3,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5;(2)当m=时,PM有最大值;(3)存在满足条件的点Q,其坐标为Q1(2,9),Q2(3,8),Q3(﹣1,0),Q4(6,﹣7).
【解析】
(1)y=-x+5,令x=0,则y=5,令y=0,则x=5,故点B、D的坐标分别为(5,0)、(0,5),利用待定系数法即可求解;
(2)由题意可得M点坐标为(m,﹣m2+4m+5),则则P点坐标为(m,﹣m+5),表示出PM的长度:PM=-m2+4m+5-(-m+5)=-m2+5m=-(m-)2+,利用二次函数的性质即可求解;
(3)过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,设出Q点坐标Q(x,﹣x2+4x+5),则G(x,﹣x+5),表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-(-x+5)|=|-x2+5x|,由条件可得△BOD是等腰直角三角形,,可证得△QHG为等腰直角三角形,则当△BDQ中BD边上的高为3时,即QH=HG=3,QG=×3=6,|-x2+5x|=6,即可求解.
解:(1)y=﹣x+5,令x=0,则y=5,令y=0,则x=5,
故点B、D的坐标分别为(5,0)、(0,5),
则二次函数表达式为:y=﹣x2+bx+5,将点B坐标代入上式并解得:b=4,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5;
(2)设M点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+5),M(m,﹣m2+4m+5),
∴PM=﹣m2+4m+5﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m-)2+,
∴当m=时,PM有最大值;
(3)如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,
设Q(x,﹣x2+4x+5),则G(x,﹣x+5),
∴QG=|﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)|=|﹣x2+5x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,
∴∠HGQ=∠BGE=45°,
∴△QHG是等腰直角三角形,
当△BDQ中BD边上的高为3时,即QH=HG=3,
∴QG=×3=6,
∴|﹣x2+5x|=6,
当﹣x2+5x=6时,解得x=2或x=3,
∴Q(2,9)或(3,8),
当﹣x2+5x=﹣6时,解得x=﹣1或x=6,
∴Q(﹣1,0)或(6,﹣7),
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为Q1(2,9),Q2(3,8),Q3(﹣1,0),Q4(6,﹣7).
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【题目】如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是-2.
(1)求这条直线的解析式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?
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【题目】如图1,一枚质地均匀的骰子,骰子有六个面并分别标有数字1,2,3,4,5,6.如图2,有,,,,,,7个圈,相邻两个圈间距相等.跳圈游戏的规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子向上的一面上的数字是几,就从圈开始向前连续跳几个间距.如:从圈起跳,第一次掷得3,就连续跳3个间距,跳到圈;若第二次掷得3,就从开始连续跳3个间距,跳到圈;若第二次掷得4,就从圈开始连续跳4个间距,跳到圈后返回到圈;…设游戏者从圈起跳.
(1)小明随机掷一次骰子,求跳到圈的概率;
(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后跳到圈的概率,并指出他与小明跳到圈的可能性一样吗?
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【题目】如图,抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,
△EFK的面积最大?并求出最大面积.
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【题目】如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向.
求:(1)∠C的度数;
(2)A,C两港之间的距离为多少km.
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【题目】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天的盈利是1050元?
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最大?最大盈利是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(a,b为常数,且)与反比例函数(m为常数,且)的图象交于点A(﹣2,1)、B(1,n).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连结OA、OB,求△AOB的面积;
(3)直接写出当时,自变量x的取值范围.
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【题目】我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.
(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.
(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.
(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿B→A→C运动到点C停止.若△BPQ的面积为y运动时间为x(s),则下列图象中能大致反映y与x之间关系的是( )
A.B.C.D.
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