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【题目】如图,直线y=﹣x+5x轴交于点B,与y轴交于点D,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣x+5交于BD两点,点C是抛物线的顶点.

1)求抛物线的解析式;

2)点M是直线BD上方抛物线上的一个动点,其横坐标为m,过点Mx轴的垂线,交直线BD于点P,当线段PM的长度最大时,求m的值及PM的最大值;

3)在抛物线上是否存在异于BD的点Q,使BDQBD边上的高为3,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.

【答案】1)抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5;(2)当m时,PM有最大值;(3)存在满足条件的点Q,其坐标为Q129),Q238),Q3(﹣10),Q46,﹣7).

【解析】

1y=-x+5,令x=0,则y=5,令y=0,则x=5,故点BD的坐标分别为(50)、(05),利用待定系数法即可求解;
2)由题意可得M点坐标为(m,﹣m2+4m+5),则则P点坐标为(m,﹣m+5),表示出PM的长度:PM=-m2+4m+5--m+5=-m2+5m=-m-2+,利用二次函数的性质即可求解;
3)过QQGy轴交BD于点G,交x轴于点E,作QHBDH,设出Q点坐标Qx,﹣x2+4x+5),则Gx,﹣x+5),表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5--x+5|=|-x2+5x|,由条件可得△BOD是等腰直角三角形,,可证得△QHG为等腰直角三角形,则当△BDQBD边上的高为3时,即QH=HG=3QG=×3=6|-x2+5x|=6,即可求解.

解:(1y=﹣x+5,令x0,则y5,令y0,则x5

故点BD的坐标分别为(50)、(05),

则二次函数表达式为:y=﹣x2+bx+5,将点B坐标代入上式并解得:b4

故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x+5

2)设M点横坐标为mm0),则Pm,﹣m+5),Mm,﹣m2+4m+5),

PM=﹣m2+4m+5﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m-2+

∴当m时,PM有最大值

3)如图,过QQGy轴交BD于点G,交x轴于点E,作QHBDH

Qx,﹣x2+4x+5),则Gx,﹣x+5),

QG|x2+4x+5﹣(﹣x+5||x2+5x|

∵△BOD是等腰直角三角形,

∴∠DBO45°

∴∠HGQ=∠BGE45°

∴△QHG是等腰直角三角形,

当△BDQBD边上的高为3时,即QHHG3

QG×36

|x2+5x|6

当﹣x2+5x6时,解得x2x3

Q29)或(38),

当﹣x2+5x=﹣6时,解得x=﹣1x6

Q(﹣10)或(6,﹣7),

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为Q129),Q238),Q3(﹣10),Q46,﹣7).

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