Question

如图，半径为4的⊙O中直径AB垂直弦CD于E，过C作⊙O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若E为半径 OB的中点，求线段OF的长度．

Answer 1

（1）证明：连接OD、OC．
∵OC=OD（⊙O的半径），AB是直径，直径AB⊥弦CD（已知），
∴OE是∠COD的平分线，
∴∠COE=∠DOE；
在△COP和△DOP中，
∵，
∴△COP≌△DOP（SAS），
∴∠OCP=∠ODP（全等三角形的对应角相等）；
又∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°（切线的性质），
∴∠ODP=90°（等量代换），
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AB，点E是OB的中点，
∴OD=BD；
又∵OB=OD，
∴OB=OD=BD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∴∠ODE=∠BDE=30°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
∵OD=4，
∴DE=OD•sin∠DOE=，
∴CD=2DE=4；
∵∠ODP=90°，
∴∠CDP=60°；
∵PC、PD是⊙O的两条切线，
∴PC=PD，
∴△PCD是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴CD=PD，
∴点F是PC的中点；
在Rt△CDF中，CD=4，∠CDF=30°，则CF=CD=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
在Rt△OCF中，OF=（勾股定理）．
分析：（1）连接OD、OC．欲证PD是⊙O的切线，只需证明OD⊥PD即可；通过全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的对应角∠OCP=∠ODP=90°来证明该结论；
（2）利用等边三角形的判定知△ODB和△PCD均为等边三角形，然后由等边三角形的“三线合一”的性质、勾股定理求得OF的长度．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形．