Question

20．定义函数y=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2．当x∈[0，n）（n∈N^*）时，记a_n为函数y的所有可能取值的个数．则a₁₀=（　　）

• A． 45
• B． 46
• C． 55
• D． 66

Answer 1

分析 先由题意求出[x]，再求x[x]，然后求出[x[x]]，得到a_n．

解答 解：由题意可得：[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x＜1}\\{1，1≤x＜2}\\{…}\\{n-1，n-1≤x＜n}\end{array}\right.$，
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x＜1}\\{x，1≤x＜2}\\{…}\\{（n-1）x，n-1≤x＜n}\end{array}\right.$，
∴[x[x]]在各区间中元素的个数是：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
则a₁₀=$\frac{10×9}{2}$+1=46．
故选：B．

点评 此题主要考查了取整计算，根据题意分段得出各区间中元素的个数是解题关键．