【题目】(12分)阅读理解:
如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′,FD′相交于点O.
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ;
(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB′= °;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有 个(包含四边形ABCD).
拓展提升:
(4)当图③中的∠BCD=90°时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由.
【答案】(1)正方形;(2)80;(3)5;(4)45°.
【解析】试题(1)结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义可以得出结论;
(2)先证∠AEB′=∠BCB′,再算出∠BCE=∠ECF=40°,即可得出结果;
(3)由折叠的性质得出BE=B′E,BC=B′C,∠B=∠CB′E=90°,CD=CD′,FD=FD′,∠D=∠CD′F=90°,即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”,由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°,CD′=CB′,由菱形的性质得出AE=AF,CE=CF,再证明△OED′≌△OFB′,得出OD′=OB′,OE=OF,证出∠AEB′=∠AFD′=90°,即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”;即可得出结论;
(4)当图③中的∠BCD=90°时,四边形ABCD是正方形,证明A、E、B′、F四点共圆,得到,由圆周角定理即可得到∠AB′E的度数.
试题解析:(1)①∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C≠90°,∠B=∠D≠90°,∴AB≠AD,BC≠CD,∴平行四边形不一定为“完美筝形”;
②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,∴AB≠AD,BC≠CD,∴矩形不一定为“完美筝形”;
③∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C≠90°,∠B=∠D≠90°,∴菱形不一定为“完美筝形”;
④∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,∴正方形一定为“完美筝形”;
∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是正方形;故答案为:正方形;
(2)根据题意得:∠B′=∠B=90°,∴在四边形CBEB′中,∠BEB′+∠BCB′=180°,∵∠AEB′+∠BEB′=180°,∴∠AEB′=∠BCB′,∵∠BCE=∠ECF=∠FCD,∠BCD=120°,∴∠BCE=∠ECF=40°,∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°;故答案为:80;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个;理由如下;
根据题意得:BE=B′E,BC=B′C,∠B=∠CB′E=90°,CD=CD′,FD=FD′,∠D=∠CD′F=90°,∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”;
∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD′=CB′,∠CD′O=∠CB′O=90°,∴∠OD′E=∠OB′F=90°,∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D′E=B′F,∠AEB′=∠CB′E=90°,∠AFD′=∠CD′F=90°,在△OED′和△OFB′中,∵∠OD′E=∠OB′F,∠EOD′=∠FOB′,D′E=B′F,∴△OED′≌△OFB′(AAS),∴OD′=OB′,OE=OF,∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”;
∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个;故答案为:5;
(4)当图③中的∠BCD=90°时,如图所示:四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,∵∠EB′F=90°,∴∠A+∠EB′F=180°,∴A、E、B′、F四点共圆,∵AE=AF,∴,∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,点F是弧AD的中点,连接OF并延长交CD于点E,连接BD,BF.
(1)求证:BD∥OE;
(2)若OE=3,tanC=,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.
【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD;请证明你的结论.
【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少?
(3)若该校九年级有600名学生,请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】探究:如图,分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于点P. 求证:∠ANC = ∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点,连结PQ. 若BC = 6,则PQ = ___________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:PC=PF;
(3)若tan∠ABC=,AB=14,求线段PC的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2.
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com