Question

19．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE=EF=FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF=2$\sqrt{2}$，AB=4，求BF的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，再由DE=FB，证出OE=OF，即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=AF，再根据勾股定理求出BD，即可得出BF．

解答 （1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵DE=EF=BF，AE⊥BD，
∴AD=AF=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BF=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．