Question

如图，已知：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=BC，又AE⊥BC于E
（1）求证：AD=AE；
（2）若∠B=60°，AD=3，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）首先过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形ADCF是矩形，则可得CF=AD，易证得△ABE≌△CBF，即可得AE=CF，即可证得AD=AE；
（2）由AE=AD=3，在Rt△ABE中，∠B=60°，利用三角函数的知识即可求得BE，AB的长，继而求得CE的长，即可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC=AB．

解答：（1）证明：过点C作CF⊥AB于点F，
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴四边形ADCF是矩形，
∴CF=AD，
在△ABE和△CBF中，
∵

∠AEB=∠CFB=90° ∠B=∠B AB=CB

，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，
∴AD=AE；

（2）解：连接AC，
∵AE=AD=3，
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴AB=

AE

cos60°

=2

3

，BE=

AE

tan60°

=

3

，
∵BC=AB=2

3

，
∴CE=BE=

3

，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB=2

3

．

点评：此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．