Question

已知方程|x²-4|-a-1=0有4个实根，则实数a的取值范围是

1. A.
   a=0
2. B.
   -1＜a≤0
3. C.
   -1＜a＜3
4. D.
   a≥3

Answer 1

C
分析：先把方程变形为：|x²-4|=a+1，再根据方程有4个实根，则a+1＞0，即a＞-1；去绝对值得x²-4=±（a+1），然后讨论当x²-4=a+1时，此方程有两个不等根；当x²-4=-（a+1）时，即x²=-a+3，此方程要有两个不等根，得到-a+3＞0．最后确定实数a的取值范围
解答：方程变形为：|x²-4|=a+1，
∵方程|x²-4|=a+1有4个实根，
∴a+1＞0，即a＞-1．
∴x²-4=±（a+1）．
当x²-4=a+1时，即x²=a+5，因为a＞-1．所以此方程有两个不等根；
当x²-4=-（a+1）时，即x²=-a+3，此方程要有两个不等根，所以-a+3＞0，解得a＜3．
方程|x²-4|-a-1=0有4个实根，则实数a的取值范围为-1＜a＜3．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了绝对值的含义以及运用分类讨论的思想解决绝对值方程的方法．