Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．

（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；

（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；
（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME=NG，进而得出BE=GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF=CE，即可得到DF=BE=CG．

解：（1）∵AH＝3，HE＝1，

∴AB＝AE＝4，

又∵Rt△ABH中，BH＝，

∴S△ABE＝；

（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠MAC＝∠NGC＝45°，

∵AB＝AE，

∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，

又∵AE⊥BG，

∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，

∴∠MAE＝∠NBG，

设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，

∴AB＝BG，

∴AE＝BG，

在△AME和△BNG中，

，

∴△AME≌△BNG（AAS），

∴ME＝NG，

在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，

∴GC＝NG＝ME＝BE，

∴BE＝GC，

∵O是AC的中点，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，

∴△AFO≌△CEO（AAS），

∴AF＝CE，

∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，

∴DF＝BE＝CG．