Question

如图所示，抛物线y=-（x-m）²的顶点为A，直线l：y=

3

x-

3

m与y轴的交点为B，其中m＞0．
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标；（用含有m的代数式表示）
（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据顶点式抛物线解析式即可得出抛物线的对称轴为x=m，顶点坐标A（m，0）；
（2）将A点的坐标代入直线l的解析式中即可判定出点A是否在直线l上．
根据题意不难得出OA=m，OB=

3

m，据此可求出∠OAB的正切值，进而可求出∠OAB的度数；
（3）本题要分四种情况进行讨论：
①当∠AQP=90°，∠QAP=60°，m=3，P点的坐标为（3-3

3

，-3）；
②当∠AQP=90°，∠QPA=60°，m=

3

，P点的坐标为（0，-3）；
③当∠APQ=90°，∠AQP=60°，m=

2

3

，因此P点的坐标为（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④当∠APQ=90°，∠QAP=60°，m=2，P点的坐标为（2-

3

，-3）．

解答：解：（1）对称轴为直线x=m，顶点A（m，0）；

（2）把x=m代入函数y=

3

x-

3

m，
得y=

3

m-

3

m=0
∴点A（m，0）在直线l上．
当x=0时，y=-

3

m
∴B（0，-

3

m），tan∠OAB=

3

∴∠OAB=60°；

（3）①当∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=

3

m
，因此P点坐标为（m-

3

m，-m），
将P点的坐标代入抛物线的解析式可得m=

1

3

，
因此P点的坐标为（

1- 3

3

，-

1

3

）．
②当∠AQP=90°，∠QPA=60°，此时P，B重合，
因此P点坐标为（0，-

3

m），
代入抛物线解析式得m=

3

，因此P点的坐标为（0，-3）．
③当∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，过P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=

3

2

m，AC=

1

2

m，
因此P点的坐标为（m-

3

2

m，-

1

2

m）．
代入抛物线得m=

2

3

，因此P点的坐标为（

2- 3

3

，-

1

3

）；
④当∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=

3

m，
过P作PD⊥AQ于D，
那么PD=AP•sin30°=

3

2

m，AD=

3

2

m，
因此P点的坐标为（m-

3

2

m，-

3

2

m），
代入抛物线得m=2，
因此P点的坐标为（2-

3

，-3）．

点评：本题考查了二次函数的性质及全等三角形的判定等知识点，（3）在不确定全等三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论．