Question

已知，如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线在第一象限内交于点C，且S_△AOC=6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（4，a）为此双曲线在第一象限上的一点，点P为x轴上一动点，试确定点P的坐标，使得PC+PD的值最小．

Answer 1

解：（1）在直线中，令y=0，则x=-2，即点A（-2，0）．
∵S_△AOC=6，点C在第一象限，
∴点C的纵坐标是6．
∵直线与双曲线在第一象限内交于点C，
∴把y=6代入直线中，得
x=2，
即点C（2，6）．
把点C（2，6）代入中，得
k=12，
则反比例函数的解析式是y=．

（2）∵点D（4，a）为此双曲线在第一象限上的一点，
∴a=3．
要使PC+PD的值最小，
则作点C关于x轴的对称点E（2，-6），连接DE交x轴于点P，点P即为所求作的点．
设直线DE的解析式是y=kx+b，根据题意，得
，
解，得
，
则直线的解析式是y=4.5x-15，
令y=0，则x=，
即点P（，0）．
分析：（1）首先根据直线求得点A的坐标，再根据S_△AOC=6求得点C的纵坐标，再根据直线求得点C的横坐标，从而把点C的坐标代入双曲线解析式，求得反比例函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的解析式求出a，确定点D的位置，再利用轴对称的知识确定动点P即为连接点D和点C的对称点的直线与x轴的交点．
点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、求函数图象与坐标轴交点的方法以及利用轴对称的知识求在某直线上确定一点到两个定点距离之和最小的方法．