Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，CF⊥AC交AB的延长线于点F，G为BC的中点，射线AG交CF于D，E在CF上，CE＝AD，连接BD，BE．求证：△BDE是等边三角形

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

由等边三角形的性质可得AC=AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠CAD=∠BAD=30°，由“SAS”可证△ACD≌△CBE和△ACD≌△ABD，可得∠ADC=∠CEB=60°=∠ADB，即可得结论．

证明：∵△ABC是等边三角形，G为BC的中点，
∴AC=AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠CAD=∠BAD=30°，
∵AC⊥CF，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=60°，∠BCE=30°，
∴∠CAD=∠BCE，且AC=CE，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ADC=∠CEB=60°，
∵AC=AB，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS）
∴∠ADC=∠ADB=60°，
∴∠BDE=180°-∠ADC-∠ADB=60°，
∴∠BDE=∠BED
∴△BDE是等腰三角形，且∠BED=60°，
∴△BDE是等边三角形．