Question

【题目】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；

（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；

（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；

（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3，顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）点E的坐标为（，3）或（，3）；（ii）存在；当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．

【解析】

（1）由题意得出，解得，得出抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；

（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y＝x+，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝，分两种情况求出m的值即可；

（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出，求出a＝﹣或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝，即可得出结论．

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，

∴

解得

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3，

∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点B的坐标为（2，4）；

（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，

∴x＝0时，y＝3，

则C点的坐标为（0，3），

∵A（4，3），

∴AC∥OD，

∵AD⊥x，

∴四边形ACOD是矩形，

设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：

则

解得： ，

∴直线BE的函数表达式为：y＝x+，

令：y＝x+＝0，则x＝4m﹣6，

∴点M的坐标为（4m﹣6，0），

∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，

∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，

∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），

∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，

∴S矩形ACOD＝OCAC＝3×4＝12，

S梯形ECOM＝（OM+EC）OC＝（4m﹣6+m）×3＝，

分两种情况：

①＝，即＝，

解得：m＝，

∴点E的坐标为：（，3）；

②＝，即＝，

解得：m＝，

∴点E的坐标为：（，3）；

综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）；

（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：

由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，

过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：

设点F的坐标为：（a，﹣a2+a+3），

则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，

∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，

∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，

∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，

∵NF∥CG，

∴∠EMC＝∠EFN，

∴∠EFN＝∠DGO，

在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，

∴△EFN≌△DGO（ASA），

∴NE＝OD＝AC＝4，

∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，

∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，

∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，

∴∠EFN＝∠DEA，

∴△ENF∽△DAE，/span>

∴，即＝

整理得：a2+a＝0，

解得：a＝﹣或0，

当a＝0时，点E与点A重合，

∴a＝0舍去，

∴AE＝NC＝﹣a＝，

∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．