Question

【题目】如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由？

（2）当点O运动何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）证OE=OC，OF=OC，推出OE=OF，

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形

【解析】试题分析：

(1)先判断∠ECF=90°，再利用角平分线，平行线，等腰三角形的关系得到OE=OC，OF=OC；

(2)结合(1)中的结论，利用对角线相等的平行四边形是矩形说明.

试题解析：

(1)OE=OF，理由如下：

∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACB外角的平分线，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠GCF=∠ACG.

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACG=(ACB+∠ACG)=∠BCG=90°.

∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠ACE，∴OE=OC.

同理OF=OC，所以OE=OF.

(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以当OA=OC时，对角线AC与EF互相平分且相等，而对角线相等的平行四边形是矩形，则当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.