Question

7．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；
②根据PE∥CF，得到$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PG}{GB}$，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠P=∠F}\\{PE=EF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a
∵PE∥CF，
∴$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PG}{GB}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{a-b}{2b-a}$，
解得，a=$\sqrt{2}$b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2$\sqrt{2}$b-2b）=（2-$\sqrt{2}$）b，又BG=2b-a=（2-$\sqrt{2}$）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=$\sqrt{2}$：1；∴∠AEC=45°．

点评 本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助性是解题的关键．