Question

10、已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；
（2）首先连接AO并延长交BC于F，由AB=AC，OB=OC，即可证得AF是BC的垂直平分线，又由三线合一的性质，即可证得点O在∠BAC的角平分线上．

解答：（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O两点在线段BC的垂直平分线上，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．

点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．