Question

4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD=CD+AB．

Answer 1

分析 过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C=∠DEM=90°，∠B=∠AEM=90°，∠CDM=∠EDM，CM=EM，∠EAM=∠BAM，BM=ME，根据AAS推出△MCD≌△MED，根据全等得出CD=DE，AE=AB，即可得出答案．

解答 证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C=∠DEM=90°，∠B=∠AEM=90°，∠CDM=∠EDM，CM=EM，∠EAM=∠BAM，BM=ME，
在△MCD和△MED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDM=∠EDM}\\{∠C=∠DEM}\\{CM=EM}\end{array}\right.$
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD=DE，
同理：AE=AB，
∴AD=AE+DE=CD+AB．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．