Question

25、（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA=DB=DC．

（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据线段的垂直平分线的性质可以得到AD=CD，再利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，而∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，由此即可得到∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质即可证明题目结论；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于于点O，作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O，根据（1）的结论可以得到OM=OP=OF=ON，然后由此可以证明Rt△OKM≌Rt△OKN，然后利用线段性质得到MK=NK，由此可以证明△FKM≌△FKN，然后即可证明题目结论．

解答：解：（1）∵ED垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
而∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，
∴DA=DB=DC；

（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于于点O，
∵PM⊥FH，PN⊥FG，
∴△MPF和△NPF都是直角三角形；
作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
由（1）中所证可知OF=OP=OM；
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；
∴OM=OP=OF=ON，
又∵MN⊥FP，
∴∠OKM=∠OKN；
∴PT△OKM≌RT△OKN；
∴MK=NK；
∴△FKM≌△FKN；
∴∠MFK=∠NFK，
即FP平分∠HFG．

点评：此题是一个探究性试题，利用第一问的结论解决第二问，实际上很难把两个问题联系起来，只有通过作辅助线才能把它们联系在一起，所以题目的辅助线是解题的关键．