Question

如图1，直线y=-x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F．

（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
（2）如图2，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；
（3）求m与n之间的函数关系式；
（4）在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）

Answer 1

解：（1）如图1，当x=0时，y=3；当y=0时，x=4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接CF，
当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C与直线AB相切于点F，
∴CF⊥AB于点F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴点C的坐标为（-5，3）；

（2）如图2，连接CE、CF、CD，
∵⊙C与x轴、y轴、AB分别相切于E、D、F，
∴由切线长定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，
∴AE=（AB+OA+OB）=6，
由切线性质定理得，CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D
∴四边形CEOD为矩形，
又∵CE=CD，
∴矩形CEOD为正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE=AE-OA=6-4=2，
∴⊙C的半径为2；

（3）如图1，延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，
∵⊙C与x轴相切于点E，
∴GE⊥AE于点E，
∴EG∥y轴，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴，
∴CG=n，
又∵GE=CG+CE==n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG==，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=，
∴=，
∴m=4-3n；

（4）不能．
∵∠CGF=∠OBA，而tan∠OBA≠tan30°，
∴产生了矛盾，即三角形OEF不是等边三角形．
分析：（1）因为直线y=-x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，所以分别令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3），所以OA=4，OB=3，AB=5，连接CF，当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，利用两直线平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因⊙C与直线AB相切于点F，所以CF⊥AB于点F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即点C的坐标为（-5，3）；
（2）因为点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F，若⊙C与y轴相切于点D，可分别连接CE、CF、CD，则由切线长定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，所以AE=（AB+OA+OB）=6，又因由切线性质定理得，CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，所以四边形CEOD为矩形，又因为CE=CD，所以四边形CEOD为正方形，所以OE=CE=r=AE-OA=6-4=2；
（3）因为点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F，所以可延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，因为⊙C与x轴相切于点E，所以GE⊥AE于点E，EG∥y轴，∠CGF=∠OBA，所以可证△FCG∽△OAB，，即CG=n，又因GE=CG+CE==n，AE=OA+OE=4-m，利用tan∠EAG=tan∠BAO，即可得到关于m、n的关系式=，整理即可；
（4）若三角形OEF是等边三角形，则有∠EFO=60°，∠CEF=∠CFE=30°，∠CGF=90°-∠GCF=30°，由（3）可知∠CGF=∠OBA，而tan∠OBA≠tan30°，所以产生了矛盾，即三角形OEF不是等边三角形．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形、切线的性质即可解决问题．