Question

【题目】如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积的最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为，其中正确的结论是_________（填写序号）.

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①由条件可知AB=24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB=24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA=OB，可求出最大面积为144；③当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，可求出OD=25，证明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF长，则D点坐标可求出．

解：∵点E为AB的中点，AB=24，

∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，
∵∠AOB=90°，
∴点E经过的路径长为，故①错误；

当△OAB的面积最大时，因为AB=24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA=OB，
∵E为AB的中点，

，故②正确；

如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，

∴OD=DE+OE=13+12=25，
设DF=x，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DFA=∠AOB，
∴∠DAF=∠ABO，
∴△DFA∽△AOB

∵E为AB的中点，∠AOB=90°，
∴AE=OE，
∴∠AOE=∠OAE，
∴△DFO∽△BOA，

解得舍去，

，故③正确．

故答案为：②③．