Question

8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若△FBM的面积是3，求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED∥BC，于是得到∠EDB=∠FBM，又因为∠DME=∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM；
（2）由相似三角形的性质可证明FM：EM=1：2，从而可求得△EMB和△EDM的面积，于是可得到△BDE的面积．

解答 解：（1）∵AB=2CD，点E是AB的中点，
∴DC=EB．
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠EDB=∠FBM．
又∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
（2）∵四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC．
∵点F是BC的中点，
∴FB=$\frac{1}{2}$DE．
∴FB：DE=1：2．
∴S_△DEM：S_△BFM=1：4．
∴S_△DEM=12．
∵△BFM与△BEM是同高的两个三角形，
∴S_△BEM=2S_△BFM=6．
∴△DEB的面积=12+6=18．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定，掌握相似三角形的性质是解题的关键．