Question

【题目】已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．

（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为　 　；

（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由条件得出BC=AB=2， OC=OB+BC=3，从而可得到点C的坐标为（0，3）；
（2）连接OD，证明△OAD是等边三角形，得出AO=AD，再证明△ABD≌△AEO（SAS），即可得出结论；
（3）作EH⊥AB于H，通过HL证明Rt△AEH≌Rt△BAO，得到EH=AO=AD，再通过AAS证明△HFE≌△AFD，得出EF=DF，即可求出的值．

（1）解：∵B（0，1），

∴OB＝1，

∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，

∴BC＝AB＝2，

∴OC＝OB+BC＝3，

∴点C的坐标为（0，3），

故答案为：（0，3）；

（2）证明：连接OD，如图2所示：

∵△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝60°，

∵∠OAB＝30°，

∴∠OAE＝30°+60°＝90°，

∵AD⊥AB，

∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，

∵MN是OA的垂直平分线，

∴OD＝AD，

∴△OAD是等边三角形，

∴AO＝AD，

在△ABD和△AEO中，，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD＝OE；

（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：

∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，

∴AH＝AB，

∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，

∴OB＝AB，

∴AH＝OB，

在Rt△AEH和Rt△BAO中， ，

∴△AEH≌△BAO（HL），

∴EH＝AO＝AD，

在△HFE和△AFD中，，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF＝DF，

∴DE＝2DF，

∴＝．