Question

已知：如图所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A 关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M。
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由。

Answer 1

证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，
∵点D与点A关于点E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD，
在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴ACE=∠ABE，∴AC=AB，∴AB=CD；
（2）结论：∠F=∠MCD，
理由：∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC= ∠CAD，
∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM
∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE，∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM，
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一），∴∠CME=∠BME，
∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCF=∠F（三角形内角和定理）。