Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC．
（1）判断△PBC的形状，并简要说明理由；
（2）当t＞0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t的值？若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AOP与△APC相似？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形．
（2）根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP²=2OB²，即t²=2（

1

4

t²+1），求出符合题意的t的值，即可得出答案；
（3）根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当

OP

OA

=

PC

PA

=

1

2

时和

OA

OP

=

PC

PA

=

1

2

时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可．

解答：解：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：
∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，
∴PB=PC，
∵B是线段PA的中点，
∴∠BPC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． 
∵∠OBP=∠BPC=90°，
∴OB∥PC，
∵B是PA的中点，
∴OB=

1

2

AP=BP=PC，
∴四边形POBC是平行四边形，
当OB⊥BP时，有OP=

2

OB，即OP²=2OB²，
∴t²=2（

1

4

t²+1），
∴t₁=2，t₂=-2（不合题意），
∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． 

（3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°，
当

OP

OA

=

PC

PA

=

1

2

时，
△AOP∽△APC，
此时OP=

1

2

OA=1，
∴t=±1，
当

OA

OP

=

PC

PA

=

1

2

时，
△AOP∽△CPA，
此时OP=2OA=4，
∴t=±4，
∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解．