Question

20．按一定规律排列的一列数依次为：$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{2}{7}$，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是$\frac{1}{100}$．

Answer 1

分析 首先根据$\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$，$\frac{2}{7}$=$\frac{4}{14}$，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．

解答 方法一：
解：∵$\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$，$\frac{2}{7}$=$\frac{4}{14}$，
∴这列数依次为：$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{4}{14}$，…，
∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，
∵8-5=11-8=14-11=3，
∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，
∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：
$\frac{4}{5+（10-1）×3}×\frac{4}{5+（16-1）×3}$
=$\frac{1}{8}×$$\frac{2}{25}$
=$\frac{1}{100}$．
故答案为：$\frac{1}{100}$．

方法二：
将$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{2}{7}$化成分子相同的形式$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{4}{14}$，
经观察，此数列分母为一阶等差，
∴设s=kn+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{2k+b=8}\end{array}\right.$，
∴k=3，b=2，
∴s=3n+2，
∴s₁₀=$\frac{4}{32}$，s₁₆=$\frac{4}{50}$，
∴s₁₀×s₁₆=$\frac{1}{100}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列．