Question

如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：

3

．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH-AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．

解答：
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．           （1分）
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG．                                           （2分）
故四边形EGHD是矩形．                                       （3分）
∴ED=GH．                                                 （4分）
在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．                           （5分）
在Rt△FGE中，
i=

1

3

=

EG

FG

，
∴FG=

3

EG=10

3

（米）．                                         （6分）
∴AF=FG+GH-AH=10

3

+3-10=10

3

-7（米）；（7分）

（2）加宽部分的体积V=S_梯形AFED×坝长（8分）
=

1

2

×（3+10

3

-7）×10×500
=25000

3

-10000（立方米）．                                          （9分）
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10

3

-7）米；
（2）完成这项工程需要土石（25000

3

-10000）立方米．          （10分）

点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．