Question

（北师大版）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完．设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．
（1）写出m与x之间的关系式；
（2）写出y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量的范围）；
（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？

产品 资源	甲	乙
矿石（t）	10	4
煤（t）	4	8

Answer 1

分析：（1）∵生产甲产品x吨，则用矿石原料10x吨．∴生产乙产品用矿石原料为（300-10x）吨，由此得出m=

300-10x

4

．
（2）先求出生产1吨甲、乙两种产品各获利多少，然后可求出获得的总利润．
（3）由于总利润y是x的一次函数，先求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，求得最大利润．

解答：解：（1）m与x之间的关系式为：m=

300-10x

4

=75-2.5x．

（2）生产1吨甲产品获利：4600-（10×200+4×400+400）=600；
生产1吨乙产品获利：5500-（4×200+8×400+500）=1000．
y与x的函数表达式为：y=600x+

300-10x

4

×1000=-1900x+75000；

（3）根据题意列出不等式

4x+8× 300-10x 4 ≤200 10x≤300

解得30≥x≥25．
∴y与x的函数表达式为：y═-1900x+75000，
∴y随x的增大而减小，
∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大．
y最大=-1900×25+75000=27500（元）．

点评：此题考查用函数的知识解决实际问题．解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．