Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10$\sqrt{3}$，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为75$\sqrt{3}$-$\frac{100π}{3}$．

Answer 1

分析 设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积-（扇形BOCE的面积-△BOC的面积）进行计算即可．

解答 解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，
设圆的半径为x，则OF=x-5，
由勾股定理得，OB²=OF²+BF²，
即x²=（x-5）²+（5$\sqrt{3}$）²，
解得，x=10，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积-（扇形BOCE的面积-△BOC的面积）
=10$\sqrt{3}$×5-$\frac{120×π×1{0}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×5
=75$\sqrt{3}$-$\frac{100π}{3}$，
故答案为：75$\sqrt{3}$-$\frac{100π}{3}$．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$是解题的关键．