Question

如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为

3± 3

3

．

Answer 1

分析：可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．

解答：解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，
∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，
∴△ABC∽△EFG，
∴（

EF

AB

）²=

S△EFG

S△ABC

，
即（

EF

2

）²=

1

2

，
解得EF=

2

，
∴EG=

2

，
过G点作GH⊥AE于点H，设AE=x，则AG=2-x，
∴∠AGH=30°，AH=

1

2

AG=

1

2

（2-x）=1-

1

2

x，
EH=AE-AH=x-

1

2

（2-x）=

3

2

x-1，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（2-x）²-（1-

1

2

x）²=

2

²-（

3

2

x-1）²，
整理得，3x²-6x+2=0，
解得x=

3± 3

3

．
故答案为：

3± 3

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作辅助线，根据勾股定理列出方程是解题的关键．