Question

15．如图，△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，
（1）用尺规作的△ABC的外接圆（保留作图痕迹）；
（2）设AE是外接圆的直径，求证：AB²=AD•AE．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交AD于点O，由于AB=AC，AD为△ABC的中线，则AD垂直平分BC，则点O为三角形三边中垂线的交点，即为△ABC的外心，所以以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）连结BE，如图，由AB=AC，AD为△ABC的中线，根据等腰三角形的性质得∠ADB=90°，再根据圆周角定理得∠ABE=90°，则可判断Rt△ABD∽Rt△AEB，利用相似比得AB：AE=AD：AB，然后利用比例的性质即可得到结论．

解答 （1）解：如图，

⊙O为所求；
（2）证明：连结BE，如图，
∵AB=AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
而∠BAD=∠EAB，
∴Rt△ABD∽Rt△AEB，
∴AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD•AE．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外心与相似三角形的判定与性质．