Question

【题目】已知：如图，在中，是AC中点，BE平分交AC于点E，点O是AB上一点，过B、E两点，交BD于点G，交AB于点，则下面结论正确的有填序号 ______（1）与相切；（2）；（3）的直径等于8；（4）AE

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）正确．欲证明AC是切线，只要证明OE⊥AC，只要证明OE∥BD即可．

（2）正确．根据等弧所对的弦相等证明即可．

（3）错误．在Rt△BCD中，由，求出BC=BA=10，CD=AD=8，由EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，推出EM=ED，设EM=ED=x，在Rt△AEM中，，列出方程求出x，再利用相似三角形的性质求出FM即可解决问题．

（4）错误．假设成立，推出矛盾即可．

解：如图连接EO，EF，作EM⊥AB于M．

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABE=∠EBD=∠OEB

∴OE//BD

∵AD=CD，BA=BC,

∴BD⊥AC

∴OE⊥AC

又∵OE是的半径

∴AC是⊙O的切线，故（1）正确．

∵∠EBF=∠EBG，

∴弧EF=弧EG．

∴EF= EG，故（2）正确．

在Rt△BCD中， BD=6，sinC=

∴BC=BA=10，CD=AD=8，

∵EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，

∴EM=ED，设EM=ED=x，

在Rt△AEM中，

∴

∴x=3，

∵∠EFM+∠FEM=90°，∠FEM+∠BEM=90°，

∴∠EFM=∠BEM，

∵∠EMF=∠EMB，

∴△EMF∽△BME，

∴

∴

∴

∴BF=FM+BM=，

∴的直径等于，故（3）错误，

设

即

∵∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACB，

∴∠C=∠ABE

∵∠CBD=2∠ABE

∴∠CBD=2∠C

∵∠C+∠CBD=90°

∴∠C=30°

∵

∴

显然不符合题意，故（4）错误

故答案为（1）（2）