Question

进入三月以来，重庆的气温渐渐升高，羽绒服进入了销售淡季．为此重庆某百货公司对某品牌的A款羽绒服进行了清仓大处理．已知A款羽绒服的销售价格y元与第x天（1≤x≤10，且为整数）之间的关系可用如下表表示：

时间（x天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在销售的前6天，A款羽绒服的销售数量z₁（件）与第x天的关系式为z₁=20x+40（1≤x≤6且为整数）；后4天（7≤x≤10，且为整数）的销售数量z₂件与第x天的关系如图所示
（1）请观察题中表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z₂与x之间的一次函数关系式．
（2）若A款羽绒服的进价为每件200元，该专柜共有5个员工，每位员工每天的工资为100元，该专柜每天所需的固定支出为1000元，请结合上述信息，求这10天内哪天的利润最大，并求出这个最大利润．
（3）在第（2）问的前提下，为了提高收益、减少库存，商场在第11天作出以下决定：第11-15天继续维持A款羽绒服的售价，结果每天的销售量均与第10天的持平，同时在第11-15天将B款羽绒服也作为促销商品，而且作为销售重点，已知B款羽绒服的进价仍为200元每件，销售价格比A款羽绒服取得最大利润当天的售价降低了a%，而每天销售量则比第10天A款羽绒服的销量提高了2a%，最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，请你参考以下数据，计算出a的值．
参考数据：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84．

Answer 1

分析：（1）根据表格数据，可得出y与x的函数关系式，设z₂=kx+b，将点（7，80），（10，20）代入可得出z₂与x的函数关系式；
（2）利用二次函数及一次函数的性质，分别得出当1≤x≤6时，7≤x≤10时利润的最大值，比较即可得出答案；
（3）根据最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，可列出方程，解出即可估算出a的值．

解答：解：（1）当1≤x≤6时，y=-50x+600
当7≤x≤10时，y=300；
故可得y=

-50x+600(1≤x≤6) 300(7≤x≤10)

；
当7≤x≤10时，z₂=kx+b，
将点（7，80），（10，20）代入可得

7k+b=80 10k+b=20

，
解得：

k=-20 b=220

故z₂=-20x+220；
（2）当1≤x≤6时，
w=（-50x+600-200）（20x+40）-1000-500
=-1000x²+6000x+14500
=-1000（x-3）²+23500，
当x=3时，w取得最大，w_最大=23500；
当7≤x≤10时，
w=（300-200）（-20x+220）-1000-500
=-2000x+20500
因为-2000＜0，所以w随x的增大而减小
所以当x=7时，w取得最大，w_最大=6500，
综上所述，第3天利润最大，最大利润为23500元．
（3）由题意得，5{20×（300-200）+[450（1-a%）-200]•20（1+2a%）-1500}=27100，
令a%=t，
整理得：18t²-t-0.08=0，
△=6.76，
解得：t=≈

1+2.6

36

=0.1或t=≈

1-2.6

36

（不合题意，舍去）
所以a=10．

点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及分段函数的知识，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值得应用，难度较大．