Question

5．如图，在正方形ABCD中，F是CD边上的一点，AE⊥AF，AE交CB的延长线于点E，连接EF交AB于点G．
（1）求证：DF•FC=BG•EC；
（2）已知DF：DA=1：3时，△AEF的面积等于10cm²，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠BAE=tan∠DAF和AB=AD，可证DF=BE，根据平行线定理可证$\frac{BE}{EC}=\frac{BG}{CF}$，即可证明DF•FC=BG•EC；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=AE，DF=BE，设DF=k，AD=3k，根据勾股定理得到AF²=AD²+DF²=10k²，根据△AEF的面积等于10cm²，列方程得到BC=3$\sqrt{2}$，CF=2$\sqrt{2}$，BE=DF=$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF，
∵AB=AD，
∴DF=BE，
又∵AB∥CD，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{BG}{CF}$，
∴BE•FC=BG•EC，
∴DF•FC=BG•EC；
（2）解：在△ADF与△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BAE}\\{AD=AB}\\{∠D=∠ABE=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，DF=BE，
∵DF：DA=1：3，
∴设DF=k，AD=3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC=3k，
∴CF=2k，
∴AF²=AD²+DF²=10k²，
∵△AEF的面积等于10cm²，
∴$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$AF²=10，
∴$\frac{1}{2}$×10k²=10，
∴k=$\sqrt{2}$（负值舍去），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CF=2$\sqrt{2}$，BE=DF=$\sqrt{2}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$，
∵DF•FC=BG•EC，
∴BG=$\frac{DF•FC}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．