Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.

(1)求证：CE＝CF；

(2)如图2，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（SAS），则可得CE=CF；

（2）由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

∵点E、F分别为AB、AD的中点，

∴BE=AB，DF=AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE=CF；

（2）证明：延长BA与CF，交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G=∠FCD，

∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，

∴AG=AB，

∵△BCE≌△DCF，

∴∠ECB=∠DCF，

∵∠CHB=2∠ECB，

∴∠CHB=2∠G，

∵∠CHB=∠G+∠HCG，

∴∠G=∠HCG，

∴GH=CH，

∴CH=AH+AG=AH+AB．