Question

8．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，$\frac{5}{4}$），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）直接写出二次函数的解析式y=$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，求其函数值y的取值范围；
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设二次函数解析式为y=ax²+1，由于点（-1，$\frac{5}{4}$）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax²+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x=-1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x₁，kx₁+2）、A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、B的坐标为（x₂，kx₂+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，可用含有k、x₁、x₂的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1的交点，由根与系数的关系可得：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S_△ABG=S_△APG+S_△BPG，可以得到S_△ABG即可用k表示，从而求得最小值．

解答 （1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax²+1．
∵抛物线y=ax²+1过点（-1，$\frac{5}{4}$）．
解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴二次函数的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+1；
（2）解：当x=-1时，y=$\frac{5}{4}$，当x=0时，y=1，
当x=3时，y=$\frac{13}{4}$结合图1可得：当-1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜$\frac{13}{4}$；
（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x₁，y₁），
∴点A′的坐标为（-x₁，y₁）．
∵点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴点A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、点B的坐标为（x₂，kx₂+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}m+n=k{x}_{1}+2}\\{{x}_{2}m+n=k{x}_{2}+2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{k（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}}\\{n=\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{2}+{x}_{1}}+2}\end{array}\right.$．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线y=kx+2与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1的交点，
∴x₁、x₂是方程kx+2=$\frac{1}{4}$x²+1即x²-4kx-4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∴n=$\frac{2k×（-4）}{4k}$=-2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=$\frac{1}{2}$PG•AC+$\frac{1}{2}$PG•BD
=$\frac{1}{2}$PG•（AC+BD）
=$\frac{1}{2}$×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{（4k）^{2}-4×（-4）}$
=$\sqrt{16（{k}^{2}+1）}$
=4$\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∴当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．