Question

如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
（1）求证：四边形OCPE是矩形；
（2）求证：HK=HG；
（3）若EF=2，FO=1，求KE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC=BC，AB不是直径
∴OD⊥AB，∠PCO=90°
∵PE∥OD
∴∠P=90°
∵PE是切线
∴∠PEO=90°
∴四边形OCPE是矩形；

（2）证明：∵OG=OD
∴∠OGD=∠ODG
∵PE∥OD
∴∠K=∠ODG
∵∠OGD=∠HGK
∴∠K=∠HGK
∴HK=HG；

（3）解：∵EF=2，OF=1
∴EO=DO=3
∵PE∥OD
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG
∴△OFD∽△EFK
∴EF：OF=KE：OD=2：1
∴KE=6．
分析：（1）根据OD⊥AB，切线的性质知OE⊥PK，由PE∥OD，可知OE⊥CD，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形OCPE为矩形；
（2）由OG=OD，可知∠OGD=∠ODG，根据PE∥OD，可知∠K=∠ODG，因为对顶角∠OGD=∠HGK，可得∠K=∠HGK，故HK=HG；
（3）根据△OFD∽△EFK，可将KE的长求出．
点评：本题考查了矩形的判定定理，切线的性质及三角形相似的判定和应用．