Question

如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则

BN

NC

=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,圆周角定理

专题：计算题

分析：设点S为BC的中点，连接，DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，从而可证△DCS≌△DPS，也推∠DPS=∠DCB=90°，然后求出PC，再根据勾股定理求出PB，利用三角形的面积，求得PE，利用勾股定理求得PF，利用相似求得BN的长，即可解答出．

解答：解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，
∴DP=CD=a，PS=CS=

1

2

a，即DS是PC的中垂线，
∴△DCS≌△DPS，
∴∠DPS=∠DCB=90°，
∴DS=

DC2+CS2

=

a2+ 1 4 a2

=

5

2

a，
由三角形的面积公式可得PC=

2 5

5

a，
∵BC为直径，
∴∠CPB=90°，
∴PB=

BC2-PC2

=

5

5

a，
∴PE=FB=

PC•PB

BC

=

2

5

a，
∴PF=BE=

PB2-PE2

=

1

5

a，
∴AF=AB-FB=

3

5

a，
∴

AF

AB

=

PF

BN

，即

3 5 a

a

=

1 5 a

BN

，
∴BN=

1

3

a，
∴NC=

2

3

a，
∴

BN

NC

=

1

2

；
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了正方形的性质，中垂线的性质，勾股定理，相似三角形的判定，作好辅助线，是解答本题的关键．