Question

如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，

当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴
上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________；
若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P
到原点的最大距离变为________.

Answer 1

解析考点：直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质；三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
分析：根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是 AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为2

2

，另两边长度不变，根据2²+2²="(2" )²，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM即可

解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是AB=1，
此时在斜边的中点M上，
由勾股定理得：PM==，
∴OP=1+，
将△AOP的PA边长改为2，另两边长度不变，
∵2²+2²=(2)²，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，
∴此时OP=OM+PM=1+．
故答案为：1+，1+．