Question

△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF交BE于G．
（1）如图1，若AB=AC=BC=2，求S_△ABC•S_△GBC；
（2）如图2，若AB=AC，BC=2，猜想S_△ABC•S_△GBC的值会等于（1）中值吗？说明理由．
（3）如图3，若D为BC上一点，BD=m，CD=n，猜想S_△ABC•S_△GBC的值会随着A点的上下移动而变化吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=BC=AC=2，BE⊥AC，
∴AE=CE=1，
由勾股定理得：BE==，
∴S_△ABC=AC×BE=×2×=，
∴S_△BEC=S_△ABC=，
连接EF，
∵AE=CE，AF=BF，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴=，
∴S_△BCG=S_△BEC=，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（2）还等于1，
理由是：作直线AG交BC于D，
则AD⊥BC，
由三角形的面积公式得：S_△ABC•S_△GCB=BC×AD•BC•DG=AD•DG，
∵AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AFC=△ADC=90°，
∴A F D C四点共圆，
∴∠BAD=∠GCB，
∵∠ADC=∠ADC=90°，
∴△GDC∽△CDA，
∴=，
∴AD•DG=CD²=1²=1，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（3）不发生变化，等于（m+n）mm，
由（2）可知S_△ABC•S_△GBC=BC×AD×BC×GD=（m+n）AD•GD，
由（2）可知∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠GCD，
∴△ADB∽△CDG，
∴=，
∴AD•DG=DC•BD=mn，
∴S_△ABC•S_△GBC=（m+n）mn．
不管A怎样变换，两三角形的面积的积不变，永远等于（m+n）mm
分析：（1）根据等腰三角形性质和勾股定理求出BE，根据三角形的中位线求出BG=2EG，根据等底等高的三角形面积求出△GBC即可；
（2）根据三角形的面积公式求出面积，证△GDC∽△CDA，求出AD•DG即可；
（3）证△ADB和△CDG相似，求出AD•CD即可．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．