Question

【题目】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离？

Answer 1

【答案】问题背景：EF＝BE＋DF；

探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立，理由见解析；

实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里．

【解析】解：问题背景：EF＝BE＋DF；

探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．

证明如下：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；

实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．