Question

已知关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²两实数根为x₁、x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂+x₁x₂，求m为何值时，y的值最小，最小值是多少？
（3）若m=-1，求代数式

x1(-2x22+9x2-2)

x1+x2

的值．（提示：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）两实数根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

）

Answer 1

分析：（1）由根的判别式大于等于零，即可推出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可推出x₁+x₂，x₁x₂的值，推出y关于m的二次函数表达式，即可推出m为何值时，y有最小值；
（3）根据根与系数的关系，推出x₁+x₂，x₁x₂的值，然后通过对代数式的化简即可推出代数式的值．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵△=b²-4ac≥0，
∴[2（1-m）]²-4m²=4-8m≥0，
∴m≤

1

2

，

（2）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，
∴y=x₁+x₂+x₁x₂=2-2m+m²，
∵此二次函数图象开口向上，y有最小值，
∴-

b

2a

=-

-2

2

=1，
∴当m=1时，y有最小值，
∴y=2-2m+m²=2-2+1=1，

（3）∵x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，m=-1，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴原式=

-2x1x2x2+9 x1x2-2x1

4

=

-2x2+9x1x2-2x1

4

，
=

-2×4+9

4

=

1

4

．

点评：本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，二次函数的顶点坐标公式，关键在于正确运用相关的性质，认真的进行计算．