Question

【题目】如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补.

(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：.

(3)如图3，在(2)的条件下，连接，是上一点使，作平分，求的度数.

Answer 1

【答案】(1)AB//CD，理由见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，即可证明；

（2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再结合GH⊥EG，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

(1)，

理由如下：如图1，

图1

∵与互补，

∴，

又∵，，

∴，

∴；

(2)如图2，由(1)知，，

图2

∴．

又∵与的角平分线交于点，

∴，

∴，即．

∵，

∴；

(3)如图3，

∵，

.

又∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

∴．