Question

18、设x₁、x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．
（1）试确定k的取值范围．
（2）是否存在整数k使得2x₁?x₂＞x₁+x₂成立，若存在求出k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式解决△=（-4）²-4k-4≥0，即可求出；
（2）根据根与系数的关系x₁+x₂=4，x₁•x₂=k+1，再利用2x₁?x₂＞x₁+x₂成立求出k的取值范围即可．

解答：（1）解：由方程有两个实数根得：
△=（-4）²-4k-4≥0，
解得k≤3；

（2）∵x₁+x₂=4，x₁•x₂=k+1且2x₁?x₂＞x₁+x₂
∴2（k+1）＞4解得k＞1，
又∵k≤3，
∴1＜k≤3，
∴存在符合题意的整数k=2或3．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．