Question

【题目】如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在轴的正半轴上，点A在轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数的图像经过AB的中点D，且与BC交于点E.

（1）求的值和点E的坐标；

（2）求直线DE的解析式；

（3）点Q为轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形， 如果存在，请求出点P的坐标； 如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=4，E（2，2）；（2）；（3）P（，）或（，）

【解析】

（1）根据矩形的性质以及点B为（2，4），求得D的坐标，代入反比例函数中，即可求得m的值，令x＝2，即可求得E的坐标；
（2）依据D、E的坐标应用待定系数法即可求得；
（3）分情况讨论：当DE是平行四边形的边时；当DE是平行四边形的对角线时，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可．

解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B为（2，4），
∴AB＝2，BC＝4，
∵D是AB的中点，
∴D（1，4），
∵反比例函数图象经过AB的中点D，
∴4＝，即m＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，令x＝2，得y＝2，
∴E的坐标（2，2）；
（2）∵D（1，4），E（2，2），
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直线DE的解析式为y＝2x＋6；
（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，当DE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ＝DE，
∴Q的纵坐标为0，
∴P的纵坐标为±2，
令y＝2，则2＝，解得x＝2，令y＝2，则2＝，解得x＝2，
∵E（2，2），
∴P点的坐标为（2，2）；
当DE是平行四边形的对角线时，
∵D（1，4），E（2，2），
∴DE的中点为（，3），
设P（a，）、Q（x，0），
∴，
∴a＝，
∴P（，6），
综上所述：P点的坐标为（2，2）或（，6）．