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如图,证明定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
已知:点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证:DE∥BC,DE=数学公式BC.

证明:延长DE至F,使EF=DE,连接CF
∵E是AC中点,
∴AE=CE,
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴AD=CF,∠ADE=∠F
∴BD∥CF,
∵AD=BD,
∴BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DF∥BC,DF=BC,
∴BE∥CB,DE=BC.
分析:延长DE至F,使EF=DE,连接CF,通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半.
点评:本题考查了三角形的中位线定理的证明,用到的知识点有全等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质.
练习册系列答案
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如图1、2是两个相似比为1:
2
的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4.求证:AE2+BF2=EF2
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
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2
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(1)图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4,①求证:DE=DF.②求证:AE2+BF2=EF2
(2)在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜和CD延长线分别与交于点,如图5,证明结论:AE2+BF2=EF2仍成立.

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如图,证明定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
已知:点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证:DE∥BC,DE=
12
BC.

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