Question

20．在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=8cm，sinA=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的判定定理，只需连接OD，证明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，两条直线平行就可证明；
（2）根据切线的性质定理，连接过切点的半径，运用锐角三角函数的定义，用半径表示OA的长，再根据AB的长列方程求解．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：⊙O与AC相切于F点，如图2，连接OF，
则：OF⊥AC．
在Rt△OAF中，sinA=$\frac{OF}{OA}$，
∴OA=$\frac{5}{3}$OF，
又AB=OA+OB=8，
∴$\frac{5}{3}$OF+OF=8，
∴OF=3cm．

点评 此题综合运用了切线的判定和性质，熟练运用锐角三角函数的定义表示出两条边之间的关系是解题的关键．