Question

如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30°
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质易得∠ODB=90°，即OD⊥DB即可得到BD是⊙O的切线
（2）根据等边三角形的性质，可得∠DOC=60°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质，可得OD=

1

2

OB，进而可得BC=

1

3

AB．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠DOB=60°；
又∵∠DBA=30°，
∴∠ODB=90°，
∵D为⊙O上一点，
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：BC=

1

3

AB．理由如下：
连接CD；
∵OD=OC且∠DOB=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴OD=

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2

OB；
∵OA=OD=OC，
∴BC=OB-OC，
∴BC=

1

3

AB．

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．