Question

9．如图，已知一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y₂=-$\frac{8}{x}$的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；
（2）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；
（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．

解答 解：（1）设点A坐标为（-2，m），点B坐标为（n，-2）
∵一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y₂=-$\frac{8}{x}$的图象交于A、B两点
∴将A（-2，m）B（n，-2）代入反比例函数y₂=-$\frac{8}{x}$可得，m=4，n=4
∴将A（-2，4）、B（4，-2）代入一次函数y₁=kx+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{4=-2k+b}\\{-2=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y₁=-x+2；

（2）在一次函数y₁=-x+2中，
当x=0时，y=2，即N（0，2）；当y=0时，x=2，即M（2，0）
∴S_△AOB=S_△AON+S_△MON+S_△MOB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×2=2+2+2=6；

（3）根据图象可得，当y₁＞y₂时，x的取值范围为：x＜-2或0＜x＜4

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．