Question

16．如图，在平面直角坐标系中有一点A，OA=16，动点P从A开始以每秒2个单位的速度向x轴负半轴运动，动点Q从0开始以每秒1个单位的速度向y轴正半轴运动，P，Q同时出发，设时间为t；
（1）当t为何值时，三角形OPQ为等腰三角形；
（2）当t为何值时，三角形OPQ的面积为15．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：P在x轴正半轴上和P在x轴负半轴上，根据三角形OPQ为等腰三角形，列出关于t的方程进行求解即可；
（2）分两种情况讨论：P在x轴正半轴上和P在x轴负半轴上，根据三角形OPQ的面积为15，列出关于t的方程进行求解即可．

解答 解：（1）①当P在x轴正半轴上时，OP=16-2t，OQ=t，
∵∠POQ=90°，
∴当OP=OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，
此时，16-2t=t，解得t=$\frac{16}{3}$；

②当P在x轴负半轴上时，OP=2t-16，OQ=t，
∵∠POQ=90°，
∴当OP=OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，
此时，2t-16=t，解得t=16；
综上所述，当t为$\frac{16}{3}$或16秒时，三角形OPQ为等腰三角形；

（2）①当P在x轴正半轴上时，OP=16-2t，OQ=t，
∵∠POQ=90°，三角形OPQ的面积为15，
∴$\frac{1}{2}$×（16-2t）×t=15，
解得t=3或5；

②当P在x轴负半轴上时，OP=2t-16，OQ=t，
∵∠POQ=90°，三角形OPQ的面积为15，
∴$\frac{1}{2}$×（2t-16）×t=15，
解得t=4+$\sqrt{31}$或4-$\sqrt{31}$（舍去），
综上所述，当t为3或5或4+$\sqrt{31}$秒时，三角形OPQ的面积为15．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定以及直角三角形的面积计算问题，解决问题的关键是运用分类思想，根据等量关系列方程求解．