Question

14．如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交于AC的中点D，连接CO，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：BC时⊙O的切线；
（2）若AB=2，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；
（2）根据AB=2，则圆的直径为2，所以半径为1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的长，再通过证明△EGO∽△CBO得到关于EG的比例式可求出EG的长，进而求出EF的长．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO=$\sqrt{B{O}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{EO}{CO}$，
∴$\frac{EG}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=2EG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定于性质以及勾股定理的运用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．